CS/자료구조

[자료구조] 다익스트라 알고리즘

meizzi 2024. 2. 3. 22:09
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하나의 출발지에서 다른 모든 출발지까지 최단 경로 계산

1. 최단 경로 문제

  • 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
  • 다양한 문제 상황
    • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
    • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
    • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
  • 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

2. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

  • 개요
    • 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
    • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
      • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
    • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
      • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
  • 알고리즘의 동작 과정
    1. 출발 노드를 설정한다.
    2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
      1. 자기 자신의 노드는 0으로 설정
      2. 나머지는 무한대로 설정
    3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
    4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
    5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.
  • 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
  • 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 그 값으로 갱신한다.
  • 특징
    • 그리디 알고리즘
      • 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
    • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
      • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
      • 이를 통해 최적의 해를 구할 수 있다.
    • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
      • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

간단한 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
  • 동작 과정
    • [초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.
    • [Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.
    • [Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.
    • [Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.
    • [Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.
    • [Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.
    • [Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.
      • 마지막 노드에 대한 정보는 구하지 않아도 최단 거리를 구할 수 있다.
  • 소스코드
    • Python
      import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])​​
    • Java
      import java.util.*;

class Node {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
    public static boolean[] visited = new boolean[100001];
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    public static int getSmallestNode() {
        int min_value = INF;
        int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
                min_value = d[i];
                index = i;
            }
        }
        return index;
    }

    public static void dijkstra(int start) {
        // 시작 노드에 대해서 초기화
        d[start] = 0;
        visited[start] = true;
        for (int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
            d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
        }
        // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            int now = getSmallestNode();
            visited[now] = true;
            // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }

        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}
  • 간단한 구현 방법의 성능 분석
    • 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
    • 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)이다.
    • 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있다.
      • 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까?
        • 우선순위 큐 사용

개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
  • 동작 과정 (우선순위 큐)
    • [초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다.
    • [Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.
    • [Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
    • [Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.
  • 소스코드
    • Python
      import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])​
    • Java
      import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        if (this.distance < other.distance) {
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    public static void dijkstra(int start) {
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 
            int now = node.getIndex(); // 현재 노드
            // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            if (d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }
        
        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}
  • 개선된 구현 방법 성능 분석
    • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 **O(ElogV)**이다.
    • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문 (while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
      • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
    • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
    • 시간 복잡도를 **O(ElogE)**로 판단할 수 있다.
    • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에는 이를 **O(ElogV)**로 정리할 수 있다.
      • O(ElogE) → O(ElogV^2) → O(2ElogV) → O(ElogV)

3. 우선순위 큐 (Priority Queue)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
  • 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
  • Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.

4. 힙 (Heap)

  • 우선순위 큐 (Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
  • 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용
  • 힙 라이브러리 사용: 최소 힙
    • iterable한 객체를 넣었다가 빼면 순서가 오름차순 정렬되어 나온다.
      import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    heap = []
    result = []
    
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable: 
    	heapq.heappush(heap, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내서 담기
    for i in range(len(heap)): 
    	result.append(heapq.heappop(heap))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]​
  • 힙 라이브러리 사용: 최대 힙
    • 파이썬에서 최대 힙은 따로 제공하지 않아 최소 힙을 사용하고 데이터를 꺼낼 때 부호를 반대로 바꿔서 꺼내면 된다.
      import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    heap = []
    result = []
    
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable: 
    	heapq.heappush(heap, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내서 담기
    for i in range(len(heap)): 
    	result.append(-heapq.heappop(heap))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
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