[자료구조] 벨만 포드 알고리즘

비용이 음수인 간선이 있을 때 최단 경로를 구하는 알고리즘

1. 음수 간선이 포함된 상황에서의 최단 거리 문제

• 백준 ‘타임머신’ 문제
  • https://www.acmicpc.net/problem/11657

11657번: 타임머신

2. 벨만 포드 최단 경로 알고리즘

• 음수 간선에 관하여 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류할 수 있다.
  • 모든 간선이 양수인 경우
  • 음수 간선이 있는 경우
    • 음수 간선 순환이 없는 경우
    • 음수 간선 순환이 있는 경우
• 벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있다.
  • 또한 음수 간선의 순환을 감지할 수 있다.
  • 벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 **O(VE)**로 다익스트라 알고리즘에 비해 느리다.
• 벨만 포드 알고리즘은 다음과 같다.
  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 다음의 과정을 N-1번 반복한다.
     1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인한다.
     2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
• 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행한다.
  • 이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것이다.

3. 벨만 포드 알고리즘 vs 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘
  • 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  • 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾는다.
    • 음수 간선이 있다면 문제가 발생할 수 있다.
• 벨만 포드 알고리즘
  • 매번 모든 간선을 전부 확인한다.
    • 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함한다.
  • 다익스트라 알고리즘에 비해서 시간이 오래 걸리지만 음수 간선 순환을 탐지할 수 있다.
• 소스코드 (Python)
  

  import sys
  input = sys.stdin.readline
  INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
  
  # 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
  n, m = map(int, input().split())
  # 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
  edges = []
  # 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
  distance = [INF] * (n + 1)
  
  # 모든 간선 정보를 입력받기
  for _ in range(m):
      a, b, c = map(int, input().split())
      # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
      edges.append((a, b, c))
  
  def bf(start):
      # 시작 노드에 대해서 초기화
      distance[start] = 0
      # 전체 n - 1번의 라운드(round)를 반복
      for i in range(n):
          # 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
          for j in range(m):
              cur_node = edges[j][0]
              next_node = edges[j][1]
              edge_cost = edges[j][2]
              # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
              if distance[cur_node] != INF and distance[next_node] > distance[cur_node] + edge_cost:
                  distance[next_node] = distance[cur_node] + edge_cost
                  # n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                  if i == n - 1:
                      return True
      return False
  
  # 벨만 포드 알고리즘을 수행
  negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드
  
  if negative_cycle:
      print("-1")
  else:
      # 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
      for i in range(2, n + 1):
          # 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
          if distance[i] == INF:
              print("-1")
          # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
          else:
              print(distance[i])​