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[자료구조] 서로소 집합을 판단하기 위한 Union Find 자료구조

meizzi 2024. 2. 4. 01:01
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1. 서로소 집합

  • 서로소 집합(Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합

2. 서로소 집합 자료구조

  • 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
  • 서로소 집합 자료구조는 두 종료의 연산을 지원한다.
    • 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
    • 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
  • 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.
  • 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.
    1. 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
      1. A와 B의 루트 노드 A’, B’를 찾는다.
      2. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다.
    2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.
  • 동작 과정
    • 처리할 연산들: Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
    • [초기 단계] 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다.
    • [Step 1] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.
    • [Step 2] 노드 2과 노드 3의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 2과 3이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.
    • [Step 3] 노드 2과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 2과 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
    • [Step 4] 노드 5과 노드 6의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 5과 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.

3. 서로소 집합 연결성

  • 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.
  • 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
    • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
  • 다음 예시에서 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 한다.
  • 기본적인 구현 방법 (Python)
    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')​
  • 기본적인 구현 방법 (Java)
    import java.util.*;

public class Main {

    // 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int v, e;
    public static int[] parent = new int[100001]; // 부모 테이블 초기화하기

    // 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    public static int findParent(int x) {
        // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if (x == parent[x]) return x;
        return findParent(parent[x]);
    }

    // 두 원소가 속한 집합을 합치기
    public static void unionParent(int a, int b) {
        a = findParent(a);
        b = findParent(b);
        if (a < b) parent[b] = a;
        else parent[a] = b;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        // Union 연산을 각각 수행
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            unionParent(a, b);
        }

        // 각 원소가 속한 집합 출력하기
        System.out.print("각 원소가 속한 집합: ");
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            System.out.print(findParent(i) + " ");
        }
        System.out.println();

        // 부모 테이블 내용 출력하기
        System.out.print("부모 테이블: ");
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            System.out.print(parent[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}
  • 기본적인 구현 방법의 문제점
    • 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작한다.
    • 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)이다.
      • 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인하자
      • 수행된 연산들: Union(4, 5), Union(3, 4), Union(2, 3), Union(1, 2)

4. 경로 압축

  • 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.
    • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.
  • 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
  • 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다.
  • 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다.
  • 경로 압축 소스코드 (Python)
    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')
  • 경로 압축 소스코드 (Java)
    import java.util.*;

public class Main {

    // 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int v, e;
    public static int[] parent = new int[100001]; // 부모 테이블 초기화하기

    // 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    public static int findParent(int x) {
        // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if (x == parent[x]) return x;
        return parent[x] = findParent(parent[x]);
    }

    // 두 원소가 속한 집합을 합치기
    public static void unionParent(int a, int b) {
        a = findParent(a);
        b = findParent(b);
        if (a < b) parent[b] = a;
        else parent[a] = b;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        // Union 연산을 각각 수행
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            unionParent(a, b);
        }

        // 각 원소가 속한 집합 출력하기
        System.out.print("각 원소가 속한 집합: ");
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            System.out.print(findParent(i) + " ");
        }
        System.out.println();

        // 부모 테이블 내용 출력하기
        System.out.print("부모 테이블: ");
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            System.out.print(parent[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

5. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

  • 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
    • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.
  • 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다.
    1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
      1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행한다.
      2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
    2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
  • 동작 과정
    • [초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화한다.
    • [Step 1] 간선 (1, 2)를 확인한다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2이다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경한다.
    • [Step 2] 간선 (1, 3)를 확인한다. 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경한다.
    • [Step 3] 간선 (2, 3)를 확인한다. 이미 노드 2과 노드 3의 루트 노드는 모두 1이다. 다시 말해 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있다.
  • 소스코드 (Python)
    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
  • 소스코드 (Java)
    import java.util.*;

public class Main {

    // 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int v, e;
    public static int[] parent = new int[100001]; // 부모 테이블 초기화하기

    // 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    public static int findParent(int x) {
        // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if (x == parent[x]) return x;
        return parent[x] = findParent(parent[x]);
    }

    // 두 원소가 속한 집합을 합치기
    public static void unionParent(int a, int b) {
        a = findParent(a);
        b = findParent(b);
        if (a < b) parent[b] = a;
        else parent[a] = b;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        boolean cycle = false; // 사이클 발생 여부

        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            // 사이클이 발생한 경우 종료
            if (findParent(a) == findParent(b)) {
                cycle = true;
                break;
            }
            // 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
            else {
                unionParent(a, b);
            }
        }

        if (cycle) {
            System.out.println("사이클이 발생했습니다.");
        }
        else {
            System.out.println("사이클이 발생하지 않았습니다.");
        }
    }
}
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