[자료구조] 플로이드 워셜 알고리즘

모든 출발지에서 다른 모든 출발지까지 최단 경로 계산

1. 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
  • 점화식에 맞게 3중 반복문을 이용하여 2차원 테이블을 갱신한다.
  • 다익스트라 알고리즘과 비교했을 때 구현 난이도는 쉬운 편인데 시간 복잡도는 O(N^3)이다.
  • 노드의 개수가 적은 상황에서 효과적으로 사용할 수 있으며 노드나 간선의 개수가 많으면 다익스트라 알고리즘을 사용해야 한다.
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  • a부터 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
• 점화식
  

  

• 동작 과정
  • [초기 상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다.
    

    

  • [Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
    

    

  • [Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
    

    

  • [Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
    

    

  • [Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
    

    

• 소스코드 (Python)
  

  INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
  
  # 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
  n = int(input())
  m = int(input())
  # 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
  graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
  
  # 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
  for a in range(1, n + 1):
      for b in range(1, n + 1):
          if a == b:
              graph[a][b] = 0
  
  # 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
  for _ in range(m):
      # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
      a, b, c = map(int, input().split())
      graph[a][b] = c
  
  # 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
  for k in range(1, n + 1):
      for a in range(1, n + 1):
          for b in range(1, n + 1):
              graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
  
  # 수행된 결과를 출력
  for a in range(1, n + 1):
      for b in range(1, n + 1):
          # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
          if graph[a][b] == 1e9:
              print("INFINITY", end=" ")
          # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
          else:
              print(graph[a][b], end=" ")
      print()

• 소스코드 (Java)
  

  import java.util.*;
  
  public class Main {
  
      public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
      // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
      // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
      public static int n, m;
      // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
      public static int[][] graph = new int[501][501];
  
      public static void main(String[] args) {
          Scanner sc = new Scanner(System.in);
  
          n = sc.nextInt();
          m = sc.nextInt();
  
          // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
          for (int i = 0; i < 501; i++) {
              Arrays.fill(graph[i], INF);
          }
  
          // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
          for (int a = 1; a <= n; a++) {
              for (int b = 1; b <= n; b++) {
                  if (a == b) graph[a][b] = 0;
              }
          }
  
          // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
          for (int i = 0; i < m; i++) {
              // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
              int a = sc.nextInt();
              int b = sc.nextInt();
              int c = sc.nextInt();
              graph[a][b] = c;
          }
  
          // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
          for (int k = 1; k <= n; k++) {
              for (int a = 1; a <= n; a++) {
                  for (int b = 1; b <= n; b++) {
                      graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                  }
              }
          }
  
          // 수행된 결과를 출력
          for (int a = 1; a <= n; a++) {
              for (int b = 1; b <= n; b++) {
                  // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                  if (graph[a][b] == INF) {
                      System.out.print("INFINITY ");
                  }
                  // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                  else {
                      System.out.print(graph[a][b] + " ");
                  }
              }
              System.out.println();
          }
      }
  }​

• 성능 분석
  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행한다.
    • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
  • 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.